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リーマン予想


魔性（ましょう）の難問（なんもん）　・・・　天才たちの闘（たたか）い

数学者の人生をも狂（くる）わす 素数（そすう）の難問 とは？

リーマン予想（よそう）とは？

数学の世界に数多く難問があるが、 その中でも　もっとも難しく　もっとも重要　だといわれているのが、　今からおよそ１５０年前に ドイツの天才数学者リーマンがこの世に送り出した 　リーマン予想 (The Riemann Hypotheis) といわれる超難問です。 リーマン予想　（１８５９年） ゼータ関数の非自明なゼロ点はすべて一直線上にあるはずだ 　　何が何やらサッパリ解りませんネ、 　　　でも、　後ほどわかりやすく？ 説明しますから。 リーマン予想がなぜそんなに重要なのか？ 　数学の世界で最も基本的な数・・・素数・・・の謎を解き明かすことができるからだといわれています。 素数とは　　１　と　自分自身でしか割ることのできない数 　２、　３、　５、　７、　１１、　１３、　１７、　１９、　２３　・・・　などの不思議な数の列。 その並び方はばらばらで、まったく規則は見当たりません。 しかし、　このリーマン予想が証明されれば、 この気まぐれな素数の並び方に何らかの大切な意味が隠（かく）されていることが明らかになる。 と、　言われています。 それどころか、　素数は大宇宙が従う自然法則に関わる創造主（そうぞうしゅ）の暗号（あんごう）ではないか。 と考える人さえいるのです。 数学者　ドン・ザキェ博士は 　「２、３、５、７、１１、・・・　と並ぶ素数の列は　人間の知性を超えた存在であると思えてなりません。 　　素数には　この自然の神秘を解き明かす何かが隠されているはずです。」 数学者　ブライアン・コンリー博士は 　「リーマン予想が証明できれば、われわれ人類の歴史の一つの時代が終り、　新たな時代が始まるでしょう。 　　それは、　人類の知性の最高到達点となるでしょう。」 一見、気まぐれにしか見えない素数の並びと、その奥に潜（ひそ）む意味を解き明かすリーマン予想。 魔性（ましょう）の難問に世紀を超えて闘（たたか）っている数学者たちの話を紹介します。

ルイ・ ド・ ブランジュ博士（はくし）

フランスのパリ郊外に一人の高齢な天才数学者　ルイ・ド・ブランジュ博士（77　バデュー大学 特別教授）が 人生の全てをかけて、このリーマン予想に取り組んでいます。 　「この闘（たたか）いに決着をつけなければならない」　と言っていますが、 すでに、多くの数学者たちは逃げてしまっています。 逃げた数学者の中には精神を病んでしまった人も多くいます。 かつて、６０年間　誰も解けなかった数学の難問を解いたことで有名な数学者です。 しかし、　この天才数学者でも　このリーマン予想はまだ解けないのです。 博士は 　「もし、素数の並びの意味を理解できれば、とてつもない科学的発展につながるはずだ。 　　若いころ　素数は計算のたんなる道具だと思っていた。 　　私の研究は、宇宙を支配する物理法則を理解することにつながります。 　　特に、　原子や電子のミクロの世界の法則です。 　　素数をみれば、宇宙や自然の全てが解ることが見えてきたのです。」

皆さんは、　小学校か中学校で素数について勉強しましたネ 　たとえば、　２５５　は ２５５＝５×５１　であり、　５１＝３×１７　となる。　したがって　２５５＝３×５×１７　となる。 　　このように、これ以上分解できない数　（この例では　３、５、１７）　を素数という。 素数は　数（かず）の原子（げんし）　とも言われています。

数学者　レオンハルト・オイラー

１８世紀初め、ロシアのサンクトペテルブルクの王宮に一人のスイス人数学者が招かれました。 当時のヨーロッパ最高の数学者 レオンハルト・オイラー （1707〜1783）でした。 数学や物理学で数々の業績を残したオイラーですが、 一番深く研究していたのは　素数　でした。 １７４９年の論文には　数式の中に　太陽の絵　と　月の絵　が描かれています。 オイラーは　素数と宇宙との間には何か密接な関係があるはずだと、執念（しゅうねん）にも似た直感がありました。 素数の並びの手がかりとして　素数階段　というものを考えていました。 　数字の列を書き、　素数に出会ったとき階段を一段上がるというものをイメージしたのです。 　このように素数に出会うたびに段を上げ、素数の並びを体感しようとしたのでした。 　しかし、その並びはまったく気まぐれのようでした。 　　２つか３つ進んだだけで素数に出会うことがあったり、 　　実に７２個も素数に出会わない、砂漠地帯もあるのです。 その後も、どんどん素数階段を登って行くのですが、　規則を見つけることができなかったのです。 素数に何らかの意味を見つけ出そうとするオイラーに対して、周囲の数学者は冷淡（れいたん）でした。 　素数がこの大自然と関係があるというオイラーの考えは的外（まとはず）れだ。 　いったい、この世界のどこに素数があるというのだ。 　素数は自然とか宇宙とかに関係のない無意味な数にすぎないのだ。 しかし、オイラーはそんな批判を一気に吹き飛ばす発見をするのです。 ２2 ３2 ５2 ７2 １１2 １３2 １７2 １９2 ２３2 ２９2 ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ・・・ ２2-１ ３2-１ ５2-１ ７2-１ １１2-１ １３2-１ １７2-１ １９2-１ ２３2-１ ２９2-１ ある数学の問題を解く過程で　素数だけを使った上のような風変わりな式を考え出しました。 　　もし、　この素数だけを使った式の値（あたい）を計算することができたなら、　どんな答えが出てくるか？ 　　ばらばらな素数だけを使った式の答えなど、　誰も期待しなかったのでした。 ところが・・・　その答えは π2 ---- ６ 宇宙で最も美しい形・・・円周率（π）・・・と関係しているのです。 　　意味のないと思われた素数の集まりが、宇宙での究極の美である　円　に関係しているとは、・・・ オイラーは 　素数が単なる気まぐれな数ではなく、　宇宙の法則とつながっている可能性を初めて実証した数学者となったのです。

数学者　ベルンハルト・リーマン

オイラーの発見からおよそ１００年が経った１９世紀半ば、　ドイツのゲッティンゲンに 素数に隠された意味の存在を　より強く印象付ける数学者が現れます。 　　そうです、　ベルンハルト・リーマン （1826〜1866）　です。 　　素数に意味があることを　もっと数学的に厳密に表せないか？ 　　リーマンは　最新兵器を用意します。 　　ゼータ関数　 　　です px ζ（x） ＝ Π p ---- px-１ 何だかわかりませ〜ん。　　これを解りやすく式にすると・・・ ２x ３x ５x ７x １１x １３x １７x １９x ２３x ２９x ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ---- × ・・・ ２x-１ ３x-１ ５x-１ ７x-１ １１x-１ １３x-１ １７x-１ １９x-１ ２３x-１ ２９x-１ あの　オイラーが作った式と比べて見てください。　　よく似ていますね。 　　素数で出来ている式と覚えておけば　OKです。 ゼータ関数から何が解るか？ 　リーマンはまずゼータ関数を目に見える立体的なグラフに描いてみることにしました。 　そして、グラフの高さがゼロになる　ゼロ点　となる点の位置を調べました。 　　ゼロ点はどこに現れるのか？ 　　当初の予想では、　 　　　素数の並びが不規則なのだから、　 　　　その不規則な素数によって出来たゼータ関数のゼロ点もばらばらだと思われた。 　ところが・・・ 　　ゼロ点の位置を４つほど求めたリーマンは予想外の事実に気づきます。 　　これら４つのゼロ点は予想に反し一直線上にならんでいたのです。 もしかしたら、　これから見つかる全てのゼロ点も一直線上に並んでいるのではないか。 　このリーマンの直感が リーマン予想　（１８５９年） ゼータ関数の非自明なゼロ点はすべて一直線上にあるはずだ 立体的なグラフのつもり　　作図が下手でごめんなさい ブライアン・コンリー博士　（アメリカ数学研究所　教授）　は 　「リーマンの予想がもし正しければ、 　　それは、素数に理想的で完璧な調和が存在することが証明できるのです。」 リーマン予想が画期的だったのは それまでの　漠然（ばくぜん）とした　素数の並びに意味はあるか？　というのを、 　すべてのゼロ点は一直線上にあるか？　と、数学的問題に焼き直したことにあるのです。 これ以降、　数学者たちは　このリーマン予想の解決に心血をそそぐことになるのです。 　しかし、　多くの数学者の人生を狂わすことにもなるスタートでもあるのです。

数学者　ゴッドフレイ・ハーディー　と　ジョン・リトルウッド

リーマン予想に真正面から取り組んだ最初の数学者たちは イギリスのケンブリッジ大学の　ゴッドフレイ・ハーディー　と　ジョン・リトルウッド　です。 　ニュートンの再来とまで言われた期待の数学者たちです。 期待の若い二人はコンビを組んで、１００以上の論文を発表する。 斬新（ざんしん）な切り口が、　熱い賞賛を得て　数学界に君臨します。 　　自分たちより優れた数学者は他にはいないだろう。　そんな二人が立てた計画は 　　難問とされているリーマン予想を証明し、　世界中をアッと言わせようとしたことです。 ところが、　その後　ハーディーたちは次々と挫折（ざせつ）を味わうことになるのです。 １９１４年　ハーディーはリーマン予想の研究論文を発表します。 　　当初、この論文はリーマン予想を解決するものと思われました。 　　なぜなら、　リーマンが予想した直線上に無限に多くのゼロ点が存在することを証明したからです。 　　ところが、　これが　リーマン予想とは程遠いことが分かったのでした。 　　　ハーディーの証明は　直線上に無限のゼロ点が存在することを示したものの、 　　　その直線以外の地点でのゼロ点がないことを証明していなかったからでした。 その後も　リーマン予想は二人の挑戦をはね付け続けました。 数学界に君臨し続けてきた自分たちが　なぜリーマン予想だけが証明できないのか？ 　　いらだち始めた二人は、　あろうことかリーマン予想そのものに疑いを持ち始めました。 　　「リーマン予想は間違っている。　正しいという証拠などない。 　　　予想が間違いであってくれさえすれば、　人生はずっと楽なのだ。」 素数の暗号を解くという挑戦に　自ら背をむけた瞬間でした。 最強コンビの挫折は数学界に衝撃を与えました。 しかし、　これは　リーマン予想が　数々の数学者の人生を翻弄（ほんろう）させる　ほんの入り口だったのです。

数学者　ジョン・ナッシュ博士

アメリカ・　ニュージャージー州に　リーマン予想の最大の犠牲者の一人が今も暮らしています。 プリンストン大学の元教授で、ノーベル経済学賞受賞者でもある　ジョン・ナッシュ博士（81）です。 　１９５０年代　世紀の天才数学者と言われた人です。 ナッシュ博士の型破りな天才ぶりはアカデミー賞の映画　ビューティフル・マインド（パラマウント）　でも描かれています。 その天才数学者が全精力を傾けたのが　リーマン予想　でした。 ナッシュ博士は 　「当時　私は　素数の謎について　リーマン予想と関連する複数のアイディアを持っていました。 　　そして、　予想の証明には　非常に変わったアプローチが必要だと感じていました。」 と　語っています。 あのナッシュ博士なら史上最大の難問であるリーマン予想を証明してくれるだろう　と　周囲は期待しました。 そして、　リーマン予想が世に出てから　ちょうど１００年目の１９５９年 　　ナッシュ博士の講演会のプログラム　「リーマン予想についての型破りな見方」 　　という講演会が開催されました。 天才ナッシュが難問を打ち砕（くだ）いたに違いない・・・　　講演会会場は満員になりました。 　　ところが、　打ち砕かれていたのは　ナッシュ博士の精神の方でした。 　　　彼は　突然　たどたどしくなり、　支離滅裂（しりめつれつ）となりました。 　　それは、　その後３０年以上も彼を苦しめる統合失調症（とうごうしっちょうしょう）の前兆でした。　統合失調症 ナッシュ博士は 　「あの講演の直後から、私は明らかに精神に異常をきたしました。 　　数学の研究には　自身の心の内面を突き詰めることが要求されます。 　　あるときには論理的に考え、　別のときには非論理的に考えることが要求されます。 　　そうした複雑な思考が精神的な問題につながったのでしょう。」 と、　現在は語っています。 この頃から　リーマン予想は数学者の人生を一撃（いちげき）で壊（こわ）してしまう難問であると恐れられます。 　　素数の問題を解き明かすことは　神の怒りに触れることになるのではないか・・・ 　　と　ささやかれ、　数学界全体がこの問題から遠ざかる暗黒の時代になったのでした。

閑話休題（かんわきゅうだい）

数学者たちが　悩み苦しむ素数のなぞ ところが、　この素数のなぞが解けないことによって、　私たちの生活が守られていることをご存知でしょうか？ ある　I T関連会社を覗（のぞ）いてみましょう。 　　この会社は　インターネットを利用してクレジットカードとか銀行のネット取引とかを守っている会社です。 この建物の奥の奥の　そのまた奥の奥、 　４０００人の従業員の内　わずか数人しか入れない　セキュリティーで守られている一室の金庫には 　この会社の情報が大切に保管されています。　 　それは一体何か？　・・・　多くの素数　・・・　です。　　　「素数」　が商品なのです。 　　　　　　　　ネット取引で暗号化するために必要な素数です。 スーパーコンピュータを駆使（くし）しても分からない　１５０桁以上の素数なのです。 　　素数を使った暗号によって　私たちの財産が守られているのです。 お店で　クレジットカードを読み取り機に入れた瞬間・・・ インターネットで　商品を購入し　クレジット番号を入力しクリックした瞬間・・・ 　　巨大な素数があなたのクレジット番号を瞬時に暗号化して相手に安全に届けるのです。 さらに、　素数の暗号は　国家の情報とか軍事情報とかのやり取りにも利用され 　　機密を守っているのです。 もう　お分かりでしょう 素数のなぞが解明され、　あらゆる素数が利用されるようになることは、　 　私たちの安全の脅威（きょうい）でもあるのです。 数学者たちの素数への挑戦と挫折は　私たちとは無関係ではないのです。

再び　ルイ・ド・ブランジュ博士

ナッシュ博士らの挫折以降、リーマン予想を敬遠（けいえん）する空気のなか、 １９６０年代　一人の数学者があえてこの予想に挑戦し始めました。 その人は　７７歳になった今でも挑戦し続けている　ルイ・ド・ブランジュ博士　（バデュー大学 特別教授）　なのです。 博士は　当時の数学界の風潮に反し、 　リーマン予想は　必ず証明が可能であると信じていました。 　さらに、　素数が　ミクロの世界の電子や素粒子と関連していることにも気づいていたのです。 　「原子や素粒子の世界のことは　まだ完全には解明されていません。 　　リーマン予想は　そのミクロの世界の空間を理解することにつながる。」　と語っているのです。 ごく単純化して説明します。　（ルイ・ド・ブランジュ博士　談） 　　光をプリズムに通すと、　目に見える光が七色にわかれますが、 目に見えない光も存在するのです。 ミクロの空間とリーマンのゼロ点との関係は いわば、プリズムとこの無数の光との関係に例えられる。 ミクロの空間とリーマン予想とが関連があるという博士の直感は １９６０年代の数学界において　あまりに突飛（とっぴ）だということで、無視されていた。 かつては、　重要な定理を次々世に送り出し、　惜しみない賞賛を得てきた博士だったが、 リーマン予想では数々の失敗をすることになるのです。 １９６４年以降、　リーマン予想を証明したと３度にわたって発表したが、 その都度、　ミスが見つかり、狼少年（おおかみしょうねん）とも言われだした。 なんと言われても　この予想に取り組んできたのは、 この予想を証明しない限り、　人類は宇宙の真理に近づくことが出来ないという信念からでした。 　この博士の信念は　意外なことから　正しいことが分かった。

物理学者 フリーマン・ダイソン 博士　 と 　数学者　ヒュー・モンゴメリー 博士

素粒子などミクロの世界を研究していた　物理学の大御所（おおごしょ）である 　フリーマン・ダイソン博士（プリンストン高等研究所 名誉教授）　が　息抜きにやって来た午後３時のお茶の時間、 たまたま　ここを訪れていた一人の数学者と雑談することになった。 　ヒュー・モンゴメリー博士（ミシガン大学　教授）　である。 モンゴメリー博士は　あのゼータ関数のゼロ点について　素朴な疑問を持っていました。 　　素数には　次々と現れる場所と　なかなか現れない場所があることを思い出してください。 　　しかし、　そのばらばらな素数から作られたゼータ関数のゼロ点は　 　　なぜか　付かず離れず　ほぼ均等に現れること　に　気づいたことです。 ダイソン博士 　　「お茶の時間に出会ったモンゴメリーは　どういう訳か　ゼータ関数のゼロ点の間隔について話し始めたのです。 　　　私の研究分野とはかけ離れていました。 　　　しかし、　彼はゼロ点の間隔の数式はすでに出来ています　と　言った。」 モンゴメリー博士 　　「何の研究をしているか？　と聞かれ、　ゼロ点の間隔を表す式を見せました。 　　　すると、　ダイソンの顔つきが変わりました。」 ダイソン博士 　　「それはすごい。　その式はウランなどの原子核のエネルギーの間隔を表す式と　 同じではないか。 　　　なんたる偶然か。」 ゼロ点の 間隔 原子核の エネルギーの間隔 この出会いの瞬間に起きたこと　・・・　整理してみると　・・・ 　　自然界の構成要素である原子、　その中心に位置する原子核。 　　そしてその原子核のエネルギーは一定ではなく。　 　　なんらかの影響で　とびとびの値に変化することが　物理学者の研究で明らかになっています。 　　その　とびとびの値と　ゼロ点の位置の値とが　同じである この二人の出会いによって 　　リーマン予想は　物理学と関連することが解り　一気に脚光（きゃっこう）を浴（あ）びることになりました。

第１回　リーマン予想会議

このことにより、 　リーマン予想を避（さ）けてきた数学者たちの態度を変える一大転機（てんき）となりました。 そして、　 　１９９６年　シアトルにて　第１回　リーマン予想会議が開催されました。 　　出席したのは　世界を代表する数学者や物理学者など２００人でした。 　リーマン予想と自然法則とのつながりは　研究者たちが共同して挑（いど）むべき。 　人類にとって最も重要な挑戦（ちょうせん）だと位置づけられた。 ブライアン・コンリー博士（アメリカ数学研究所　教授）　は 　　「１９９６年までは　数学者は自分がリーマン予想に取り組んでいることが知られることを恐れていました。 　　　リーマンはタブーだったのです。 　　　しかし、　総力を結集する機が熟したようです。」

非可換（ひかかん）幾何学（きかがく）　と　アラン・コンヌ博士

この会議では　さらに大きな進展がありました。 数学界最高の頭脳の一人、　フィールズ賞にも輝いた　アラン・コンヌ博士（コレージュ・ド・フランス　教授）が リーマン予想の解決に役立つ一つの道筋を見出したのです。 　　「私は　会議の出席者たちに必要なのは　ミクロの空間に対する新たな知識だと気づいたのです。 　　　それは　素数と関係したある種の流れをもつ空間です。 　　　ダイソンとモンゴメリーの発見を理解するために必要なのは　ミクロの空間に関する新たな考え方です。 　　　そしてその空間は 　　　私が研究していた 非可換幾何学（ひかかんきかがく） と 完璧（かんぺき）に一致すると　気づきました。」 コンヌ博士の非可換幾何学はミクロの空間を理解するための最新分野でした。 　　私たちが暮らす空間は実は不連続で、　いわば　小さなつなぎ目が存在していると予言する　新しい幾何学です。 → 連続した 空間のようで 実は 不連続な空間 　　そして、　その新しい幾何学は 　　大宇宙の成り立ちから　ミクロの世界まで　あらゆる現象を説明する究極の物理法則を 　　人類が手に入れるための基礎になると　期待されています。 その　最新幾何学が　実は　素数と　深くつながっていることを　コンヌ博士は気づきました。 シアトルの会議以降 　コンヌ博士を始め多くの数学者たちは次々と論文を発表することになりました。 ある数学者は言います。 　　「非可換幾何学を使って素数の謎が解けるとき、 　　　宇宙のあらゆる現象を説明する万物の理論もまた完成するだろう。」 宇宙の図　フリー素材　ドンゴラスけ林のページより　縮小加工 　数学者たちが世紀を超えて探し求めてきた素数という暗号に隠された大いなる意味。 　それは　万物の理論。　つまり　創造主による宇宙の設計図なのかも知れません。

三度（みたび）　ルイ・ド・ブランジュ博士

２００９年８月 リーマン予想を証明したという論文をまた（４度目）発表するというのです。 　　数学界から距離を置き、　国際会議にも出席せず、　ただ一人リーマン予想に取り組んできました。 　　素数がミクロの世界と深い関係にあるという　博士の信念は　図らずも共通のものとなりました。 博士の論文が　この難問を解き明かしたものなのか　どうか　・・・　まだ誰にもわかりません。 　　この証明が正しいのかどうかは 　　これから２年間かけて　多くの数学者の厳しい検証に耐えなければならない・・・

　　 １９　素数のはなし１　　２１素数のはなし２　　４４　いろいろな数　　６８　ウラムの螺旋（らせん）

参考文献：NHKスペシャル　魔性の難問　リーマン予想・天才たちの闘い　
リンク先：　厚生労働省　
素材：　ドンゴラスけ林のページ　

（制作：2009/11/20/無断転載禁）

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