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いろいろな 数
「約数の和」 にはいろいろな タイプ があるよ！
 不足数、 過剰数、 完全数 |
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約数 の合計のはなしです。 たとえば、 １０ についての約数を考えて見ると、 10 = 1 x 10 10 = 2 x 5 10 = 5 x 2 10 = 10 x 1 と、 １ と ２ と ５ を 約数とします。 （ 自分自身の １０ は ここでは入れない） （注意 因数分解などの約数では １は約数とはしない） その数自身を除いた約数を全て足したものを単に 「約数の和」 ということにすれば、 １ ＋ ２ ＋ ５ ＝ ８ であり、 １０ の 約数の和 は ８ となる。 このようにして算出した 約数の和 と もとの数自身 との 関係 を見ていく。 そして、 約数の和 が もとの数自身 より 小さい とき もとの数を 不足数 といい、 約数の和 が もとの数自身 より 大きい とき もとの数を 過剰数 といい、 約数の和 と もとの数自身 とが 同じ とき もとの数を 完全数 という。
このように、 多くは不足数であり、 約数の和が １ の数は素数である。 （参考： 素数のはなし１ 素数のはなし２） |
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過剰数について考えてみよう。 １２ に続く過剰数は １８、 ２０、 ２４、 ３０、 ３６、 ・・・ となっていき、 １００ までの中には ２１個 の過剰数が存在し、 全てが偶数である。 では、 「過剰数は すべて偶数か？」 という疑問がわいてくる。 奇数にも存在するのです。 奇数で最小の数は ９４５ である。 では、約数の和は 1+3+5+7+9+15+21+27+35+45+63+105+135+189+315 = 975 と、 たしかに過剰数である。 一般に、 「過剰数の倍数は全て過剰数」 という法則があるので、 945 x 3 = 2835 945 x 5 = 4725 945 x 7 = 6615 と、 奇数の過剰数も無限に存在します。 過剰数のなかに 不思議数 というのがある → 後述 |
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完全数について考えてみよう。 ６ に続く完全数は ２８、 ４９６、 ８１２８、 ３３５５０３６、 ・・・ となっていき、 次の数との間隔がどんどん広がっていってしまうので、 完全数を見つけるのは大変な作業であった。 完全数 ８１２８ の発見から、 次の完全数 ３３５５０３６ が発見されるのに、 約１７００年かかりました。
古代ギリシャ人は、 ４番目の完全数 ８１２８ までを知っていたが、 ある疑問を持っていた。 「４つの完全数は全て偶数だが、奇数の完全数は存在するのだろうか？」 と。 じつは、 2p-1（２のp乗-１）という新たな メルセンヌ数（素数） が発見されるたびに、 その数に、 2p-1（２のp-1乗） を掛けることで新たな偶数の完全数が作り出される＊ユークリッドの完全数。 また、 偶数の完全数はこのタイプしかないことも示されている。 古代ギリシャ人の疑問は、 現代人に課せられた疑問でもある。 ＊ユークリッドの完全数 驚くべきことに、 完璧な完全数の生成公式がユークリッドによって発見されている。 2p-1（２のp乗-１）が素数ならば、 2p-1 × （2p-1） の形の数は全て完全数であることが証明されている。 しかし、 完全数が全てこの形でなければならないとは言っていない。
また、 オイラーは、 「偶数の完全数が存在したら、 それはユークリッドの生成公式の形でなければならない」 ということを証明している。 ここでも、 奇数の完全数については言及していない。 |
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 友愛数 （親和数・親愛数・友数） |
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これも、 約数 の合計のはなしです。
２２０ の約数の和が ２８４、 ２８４ の約数の和が ２２０ と、 約数の和がお互いの数と同じ関係にある数同士を 友愛数 という。 友愛数は、 親和数 とも 親愛数 とも 友数 とも呼ばれる。 古代ギリシャ人が 友愛数として、（２２０、２８４） のペアしか知らなかったほど、 まれにしか存在しない。 友愛数の２組目は、 １６３６年 フェルマが （１７２９６、１８４１６） を発見するまで、 かなりの年数がかかた。 ここでの２組目とは 「２番目の大きさの組」 という意味ではなく、 あくまで発見の順番である。 ２番目の大きさのペアは、 １８６７年 イタリア人で大学生であったパガニーニによって、 発見されている。 （１１８４、１２１０） 小さな組が後で発見されるというのも 不思議なことである。 ３組目の友愛数は、 １６３８年 あの 「我思う、ゆえに我あり」 のフランスの数学者デカルトによって、 （９３６３５８４、９４３７０５６） が発見されている。 その後、 あの偉大なオイラーが１７４７年から１７５０年にかけて、 ５９組ものペアを発見し続けるのである。 その最小数のペアは、 ２６２０ ＝ 22 x 5 x 131 ２９２４ ＝ 22 x 17 x 43 の、 ペアである。 １９世紀の終わりまでに発見された６６組の友愛数のうち、 じつに５９組までもがオイラーの手によってである。 現在は およそ１０００組以上が見つかっている。
友愛数の合計は９で割り切れる？ (220 + 284)/9 = 56 (1184 + 1210)/9 = 266 (2620 + 2924)/9 =616 (5020 + 5564)/9 = 1176 と、 ９で割り切れる。 しかし、 (12285 + 14595)/9 = 2986. 666・・・ と、 ９で割り切れないペアもまれにある。 友愛数に関する予想 （だれも証明していないので予想である） 友愛数は無限に存在する。 友愛数のペアは、 ともに偶数であるか 奇数である。 奇数の友愛数は、 全て３で割り切れる。 友愛数のペアは、 全て１でない公約数を持つ。 |
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 社交数 |
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前項の友愛数の考え方を拡張して考えてみる。 たとえば、 ３組の数 Ｋ、 Ｌ、 Ｍ があったとしよう。 Ｋ の約数の和は Ｌ になり、 Ｌ の約数の和は Ｍ になり、 Ｍ の約数の和は Ｋ となる。 このような関係の数のグループを 社交数 という。 社交数のグループは ３組の数でも、 ４組の数でも、 ５組の数でも、 それ以上の組でもよい。 ただ、 現在まで そのような３組の数の社交数は発見されていない。 ４組の数からなる社交数の中で、 最小の数を含むものは 次の数であると考えられている。 １２６４４６０、 １５４７８６０、 １７２７６３６、 １３０５１８４ 学者たちが、１０組以下の数からなる社交数をコンピューターで探索しているが、 ６０００万までを探索した結果、１つを除いてすべて４つの数からなる社交数である。 ただし、 ５つの数からなる社交数はコンピューター探索以前から知られていた。
現在、 ２８個の数からなる社交数が最大の組といわれている。 |
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 不思議数 |
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過剰数のなかの特別な数 先に 過剰数 について述べてきたが、 さらに考察してみると、、、 １２ が過剰数であったが、 その約数の和は 1+2+3+4+6 = 16 である。 ここで、 約数の中から、 ２、４、６ を取り出して合計してみると、 2 + 4 + 6 = 12 となり、 もとの数 １２ と一致する。 また、 1 + 2 + 3 + 6 = 12 でも、一致する。 このように、 過剰数の約数の中から適当に抜き出して合計してみると、もとの数と同じになるという性質がある。 しかし、 この性質を持たない過剰数を特に 不思議数という。 不思議数の中での最小数は ７０ である。 現在知られている不思議数は全て偶数であり、 奇数の不思議数は知られていない。 また、 不思議数は無限に存在することは証明されているようだ。 |
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１９ 素数のはなし１ ２１ 素数のはなし２ ６１ リーマン予想 ６８ ウラムの螺旋（らせん）
参考文献：数の不思議 今野紀雄著/ナツメ社
（制作：2006/03/13/無断転載禁）
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