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ウラム の 螺旋（らせん）


ポーランドの数学者が偶然発見した法則とは？

問題

図のように　方眼の中央に　１　を置き、　その上のマスに２、 あと、左回りに　３、４、・・・　と次々に自然数を記入していく時 　１　のマスから右へ１０、 下に１０　のマス ■ に入る自然数は 　いくつでしょうか？ 順番に自然数を入れていけば分かるのですが、 　法則を見つけてください。 13 12 11 10 14 3 2 9 15 4 1 8 → ┐ 16 5 6 7 17 ↓ ポーランドの数学者 　スタニスワフ・マルチン・ウラム （1909-1984） 　　原爆、水爆開発に関係する。 　　また　モンテカルロ法　とか　ソリトン　とかに関わる。 実は、彼が偶然発見した法則こそ 　　数学界の謎にせまるものだったのです。

考え方　解答

■ に注目すると、９＝３×３、　２５＝５×５、　４９＝７×７　と 　　正方形の面積になっている。 右に１行くと　３×３の面積、　（３ ＝ １×２＋１） 　　　２行くと　５×５、　　　　　 （５ ＝ ２×２＋１） 　　　３行くと　７×７、　　　　　 （７ ＝ ３×２＋１） 49 13 12 11 10 25 14 3 2 9 15 4 1 8 → ┐ 16 5 6 7 17 21 43 ↓ ■ に注目すると　７＝９−２、　２１＝２５−４、　４３＝４９−６　と 正方形の面積の数値から 　２×１、　２×２、　２×３　を引いた数値になっている。 このことから、右に n 行って、下に n 下がったマスの数値は 　　(2n+1)2-2n　となる。 この n に １０　を代入すると、 (2*10+1)2-2*10 = 441-20= 421

ウラムの螺旋（らせん）とは？ ウラムはある会議に出席していたのですが、あまりに退屈（たいくつ）だったので 上記のような螺旋（らせん）を描き、 素数の部分を塗（ぬ）りつぶしていました。 すると、　素数がななめにつながっている部分が多いことに気付きました。

ウラムの螺旋（らせん）

では、さきほどの表で素数の部分を■で塗ってみましょう。 　　（スタートの １ は　■） 自然数 １ 〜 １,０８９　の中の素数

もっと大きな図で見てみると、 出典：http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/44516986.html 自然数 １ 〜 ２５０,０００　の中の素数

ウラムも素数生成の式を発見しています。 　4n2+170n+1847　　1000万以下の n で　４６．６％が素数 　4n2+4n+59　　　　　1000万以下の n で　４３．７％が素数

（参考）　自然数　１〜１００００ の中の素数

0002 0003 0005 0007 0011 0013 0017 0019 0023 0029　　(0010 0031 0037 0041 0043 004700 53 0059 0061 0067 0071　　(0020 0073 007900 8300 89 0097 0101 0103 0107 0109 0113　　(0030 0127 0131 0137 0139 0149 0151 0157 0163 0167 0173　　(0040 0179 0181 0191 0193 0197 0199 0211 0223 0227 0229　　(0050 0233 0239 0241 0251 0257 0263 0269 0271 0277 0281　　(0060 0283 0293 0307 0311 0313 0317 0331 0337 0347 0349　　(0070 0353 0359 0367 0373 0379 0383 0389 0397 0401 0409　　(0080 0419 0421 0431 0433 0439 0443 0449 0457 0461 0463　　(0090 0467 0479 0487 0491 0499 0503 0509 0521 0523 0541　　(0100 0547 0557 0563 0569 0571 0577 0587 0593 0599 0601　　(0110 0607 0613 0617 0619 0631 0641 0643 0647 0653 0659　　(0120 0661 0673 0677 0683 0691 0701 0709 0719 0727 0733　　(0130 0739 0743 0751 0757 0761 0769 0773 0787 0797 0809　　(0140 0811 0821 0823 0827 0829 0839 0853 0857 0859 0863　　(0150 0877 0881 0883 0887 0907 0911 0919 0929 0937 0941　　(0160 0947 0953 0967 0971 0977 0983 0991 0997 1009 1013　　(0170 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069　　(0180 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151　　(0190 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223　　(0200 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291　　(0210 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373　　(0220 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451　　(0230 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511　　(0240 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583　　(0250 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657　　(0260 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733　　(0270 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811　　(0280 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889　　(0290 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987　　(0300 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053　　(0310 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129　　(0320 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213　　(0330 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287　　(0340 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357　　(0350 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423　　(0360 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531　　(0370 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617　　(0380 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687　　(0390 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741　　(0400 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819　　(0410 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903　　(0420 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999　　(0430 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079　　(0440 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181　　(0450 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257　　(0460 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331　　(0470 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413　　(0480 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511　　(0490 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571　　(0500 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643　　(0510 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727　　(0520 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821　　(0530 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907　　(0540 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989　　(0550 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057　　(0560 4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139　　(0570 4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231　　(0580 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297　　(0590 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409　　(0600 4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493　　(0610 4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583　　(0620 4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657　　(0630 4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751　　(0640 4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831　　(0650 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937　　(0660 4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003　　(0670 5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087　　(0680 5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179　　(0690 5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279　　(0700 5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387　　(0710 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443　　(0720 5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521　　(0730 5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639　　(0740 5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693　　(0750 5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791　　(0760 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857　　(0770 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939　　(0780 5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053　　(0790 6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133　　(0800 6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221　　(0810 6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301　　(0820 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367　　(0830 6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473　　(0840 6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571　　(0850 6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673　　(0860 6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761　　(0870 6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833　　(0880 6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 6917　　(0890 6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997　　(0900 7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103　　(0910 7109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207　　(0920 7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297　　(0930 7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 7411　　(0940 7417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487 7489 7499　　(0950 7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561　　(0960 7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643　　(0970 7649 7669 7673 7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723　　(0980 7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 7829　　(0990 7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 7919　　(1000 7927 7933 7937 7949 7951 7963 7993 8009 8011 8017　　(1010 8039 8053 8059 8069 8081 8087 8089 8093 8101 8111　　(1020 8117 8123 8147 8161 8167 8171 8179 8191 8209 8219　　(1030 8221 8231 8233 8237 8243 8263 8269 8273 8287 8291　　(1040 8293 8297 8311 8317 8329 8353 8363 8369 8377 8387　　(1050 8389 8419 8423 8429 8431 8443 8447 8461 8467 8501　　(1060 8513 8521 8527 8537 8539 8543 8563 8573 8581 8597　　(1070 8599 8609 8623 8627 8629 8641 8647 8663 8669 8677　　(1080 8681 8689 8693 8699 8707 8713 8719 8731 8737 8741　　(1090 8747 8753 8761 8779 8783 8803 8807 8819 8821 8831　　(1100 8837 8839 8849 8861 8863 8867 8887 8893 8923 8929　　(1110 8933 8941 8951 8963 8969 8971 8999 9001 9007 9011　　(1120 9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091 9103 9109　　(1130 9127 9133 9137 9151 9157 9161 9173 9181 9187 9199　　(1140 9203 9209 9221 9227 9239 9241 9257 9277 9281 9283　　(1150 9293 9311 9319 9323 9337 9341 9343 9349 9371 9377　　(1160 9391 9397 9403 9413 9419 9421 9431 9433 9437 9439　　(1170 9461 9463 9467 9473 9479 9491 9497 9511 9521 9533　　(1180 9539 9547 9551 9587 9601 9613 9619 9623 9629 9631　　(1190 9643 9649 9661 9677 9679 9689 9697 9719 9721 9733　　(1200 9739 9743 9749 9767 9769 9781 9787 9791 9803 9811　　(1210 9817 9829 9833 9839 9851 9857 9859 9871 9883 9887　　(1220 9901 9907 9923 9929 9931 9941 9949 9967 9973

　　　１９　素数のはなし１　　２１素数のはなし２　　４４　いろいろな数　　６１リーマン予想

参考文献：たけしのコマ大数学科/2011/11/29放映　東海TV

（制作：2012/01/01/無断転載禁）

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