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素数（そすう）の　はなし　２


前回につづいて素数のはなしです。

エラトステネスのふるいでは骨が折れるなら、
簡単に素数を求める公式はないものだろうか？

今回は、そのお話です。

何世紀にもわたって、素数を求める公式について考えられてきたが、 失敗の連続であった。 有名な例は、 　　　　　　　　　　　n2 - n + 41 この公式は、　n = 1、2、3、・・・、40　までは素数となるが n = 41　では、残念ながら素数ではなくなってしまう。 同じように、 　　　　　　　　　　　n2 - 5n + 79 この公式も、n = 79 のとき、素数ではなくなってしまう。 一般的にこのようなタイプの公式は限界があるようだ。

n2 - n + 41 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素数 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 素数 151 173 197 223 251 281 313 347 383 421 n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 素数 461 503 547 593 641 691 743 797 853 911 n 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 素数  971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447 1523 1601

メルセンヌの予想 完璧（かんぺき）　なる素数生成公式は発見されていないが、 素数のいくつかが共通の式で表されるものは見つかっている。 その代表が　「メルセンヌ素数」　である。 数学者メルセンヌ　（１５８８〜１６４７）は Mp = 2 p - 1 　（　p は素数） （２のｐ乗です） の形をした素数、つまりメルセンヌ素数に関心を持っていた。 ちなみに、　P = 11　までをあげると、 M2 = 22 - 1 = 3　　　（素数） M3 = 23 - 1 = 7　　　（素数） M5 = 25 - 1 = 31　　（素数） M7 = 27 - 1 = 127　（素数） M11 = 211 - 1 = 2047 となる。　ところが　M11 = 2047 は素数ではなく　23 ×　89 の合成数である

さらにメルセンヌは、　１６４４年に、 　　　　　　M67 = 267 - 1 は、素数だと主張した。これに関して異議を唱えるものは、 その後、２５０年以上も現れなかったので、「神秘的予想」だと、言われていた。 しかし、１９０３年、コロンビア大学のフランク・ネルソン・コールが、 米国数学会の会合で、 　　　　　267 - 1 = 147573952589676412927 　　　　　　　　　　= 193707721 × 761838257287　と黒板に書いたという。 神秘が打ち砕かれた瞬間だった。

今まで、知られていた最大のメルセンヌ素数は 　　p = 13,466,917　で　２００１年１１月１４日に発見されたものだった。　（３９番目の発見） その桁数は、なんと　400万桁以上 であった。

しかし、その後　４０番目の発見がありました。 　　p = 20,996,011　で　その桁数は　6,320,430 桁である。 ２００３年１１月１７日　発見 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　掲載時　2004/04/18現在

さらに、その後　４１番目の発見が　２００４年５月１５日　にあったと報告されています。 　　p = 24,036,583　で　その桁数は　7,235,733　桁である。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2004/07/08現在

４２番目の発見が、２００５年２月１８日　にあったと報告されました。 　　p = 25,964,951 で　その桁数は　7,816,230 桁である。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2005/04/01現在

４３番目の発見が、２００５年１２月１５日　にあったと報告されました。 　　p = 30,402,457 で　その桁数は　9,152,052 桁である。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2006/01/23現在

４４番目の発見が、２００６年９月４日　にあったと報告されました。 　　p = 32,582,657 で　その桁数は　9,808,358 桁である。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2006/11/19現在

２００８年　大きなことが起きた。 　　２００８年８月２３日　カリフォルニア大学ロサンゼルス校の数学部にて発見　・・・　（４５番目？） 　　２００８年９月　６日　ドイツで発見された　・・・　（４６番目？） しかし、　カリフォルニア大学の発見したメルセンヌ数がドイツでの発見より大きかったため 　発見順序を入れ替えて、　カリフォルニア大学（ＵＣＬＡ）のを　４６番目とした。 　４６番目　の発見　p = 43,112,609 で　その桁数は　12,978,189 桁である。 　　　　（参考　４５番目　p = 37,156,667 で　その桁数は 11,185,272 桁 ） 　メルセンヌ数を見る（一部のみ　英語版にリンク） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2008/12/25現在 アメリカの電子フロンティア財団が１,０００万桁の素数発見に対し、賞金を提供するとしていた。 　ＵＣＬＡ数学部に５０,０００ドル、　慈善事業に２５,０００ドル、 　残金の２５,０００ドルは前の６件のメルセンヌ数発見者に　分配された。

2009年4月12日　47番目の発見がノルウェーであったと報告されている。 　　しかし、　４６番目の素数より小さい。　　p = 42,643,801 で、桁数は 12,837,064 桁。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2010/05/07現在

これらを発見したのは GIMPS といい、 インターネットを通じて多くのコンピューターを連結させ、計算によって 大きなメルセンヌ素数を探している集団です。 　　（　GIMPS　= the Great Internet Mersenne Prime Search　） 　　　　　　　↓mersennne　メルセンヌ http://www.mersenne.org/　（英語版） 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　日本語翻訳 　　　　　＠nifty 翻訳　へ行き、　 　　　　　「ここにURLを入力してください」　の欄に　http://www.mersenne.org/　を入力し、 　　　　　[翻訳する]　のボタンをクリックしてください。 　　　　現在でも、ＧＩＭＰＳに参加する人たちの探索は続いている。 まるで、天空を見ながら、新しい星を発見する人たちのように。

☆　変わった素数


今まで書いたように、素数はたいへん不思議な数である。
この項では、視点を変えて、その中でおもしろい特徴のある素数を紹介します。



エマープ

これは、桁数字を逆に並べても素数になる素数の組のことだ。

エマープは　「emirp」　と書きます。　これは、素数　（prime number）　の「prime」　の逆になっている。

たとえば、
（１３、　３１）　　（１７、　７１）　　（３７、　７３）　　（７９、　９７）　などがある。

２桁のエマープは４組存在し、　３桁は１３組、　４桁は１０２組と
エマープの個数は桁数が多くなるのに従い増加しているようである。

私の知る大きなエマープは　（１３１１５１３１３７２７、　７２７３１３１５１１３１）　である。


エマープは　日本語で、 回文素数 といわれることもあるが、
　（　「竹やぶやけた」　のように、　どちらから読んでも同じ文になるものを　回文　という　）

回文という以上、　左右対称であるべき　との解釈にたてば、　１９３９１　こそが 回文素数 であろう。




素な素数

素数　７３９３９１３３　を見てみよう。
この素数はおもしろい性質をもっている。

この数は、右側から順に次々と桁数字をおとしていっても、残る数は全て素数なのである。
順に書き出していくと、

７３９３９１３３、　７３９３９１３、　７３９３９１、　７３９３９、　７３９３、　７３９、　７３、　７　　となる。

このような数は　「素な素数」　と呼ばれる。

全部で２７個存在するが、その中で上の数が最大である。


他に、左側から順に次々と桁数字をおとしていったときの最大の素な素数は

３５７６８６３１２６４６２１６５６７６２９１３７　である。




１１１１１１１・・・１　タイプの素数

１１　や　１１１　のように　「 １ 」　だけが並んだ数で素数になる数を探してみよう。

１１　はもちろん素数です。

次の　１１１　＝　３　×　３７
１１１１　＝　１１　×　１０１
１１１１１　＝　４１　×　２７１　などとなり、なかなか素数に出会わない。

次の素数探しを電卓などでチェックするのはやめたほうがいい。

なんと、次の素数は　「１」　が１９個も並ぶ数だからだ。

どこかの学者が調べた結果によると、「 １ 」を １０００桁 並べた数まで調べても素数になるものは、
先の　２桁 と １９桁 のほかには、 ２３桁 と ３１７桁 しか存在しない。

　　１９　素数のはなし１　　４４　いろいろな数　　６１　リーマン予想　　６８　ウラムの螺旋

参考文献：　数の不思議　　今野紀雄　著/ナツメ社

（制作：2004/04/18/更新2010/05/07/無断転載禁）

                              

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