ためになる? 数学 45

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ヒポクラテスの三日月




直角三角形の一辺 c を直径とする半円()、
a を直径とする半円()、
b を直径とする半円(

図のような二つの三日月  と 直角三角形の面積で、


A と B の面積の合計は 直角三角形の面積と等しい

というのが、ヒポクラテスの三日月という。






三平方の定理を使って計算してみよう


三角形の面積

ab
2



二つの三日月の面積

{ 1 ( a ) 2 1 ( b ) 2 ab } 1 ( c ) 2
π π π
2 2 2 2 2 2 2


1 ( a2+b2−c2 ) ab ab
π ─────
2 4 2 2


( 三平方の定理から a2+b2=c2 )



曲線で囲まれた(二つの)三日月の面積
直線で囲まれた三角形の面積と同じというのは

不思議ですね。



ヒポクラテスは古代ギリシアの数学者で、
これは作図の三大難問の一つ 「円積問題」に属する。

他の二つは
「任意の角の三等分問題」 と 「立方倍積問題」 である。

この二つは19世紀に、 作図できないことが証明されている。

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(制作:2006/04/20/無断転載禁)


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