ためになる？　数学　４５

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ヒポクラテスの三日月



例

直角三角形の一辺 c を直径とする半円（黒）、
a を直径とする半円（赤）、
b を直径とする半円（緑）

図のような二つの三日月　Ａ、Ｂ　と　直角三角形の面積で、


「Ａ　と　Ｂ　の面積の合計は　直角三角形の面積と等しい」

というのが、ヒポクラテスの三日月という。






三平方の定理を使って計算してみよう


三角形の面積

ab
─
2



二つの三日月の面積

{ 1 ( a ) 2 1 ( b ) 2 ab } 1 ( c ) 2
─ π ─ ＋ ─ π ─ ＋ ─ − ─ π ─
2 2 2 2 2 2 2


1 ( a2＋b2−c2 ) ab ab
＝ ─ π ───── ＋ ─ ＝ ─
2 4 2 2


( 三平方の定理から　a2＋b2＝c2 )



曲線で囲まれた（二つの）三日月の面積が
直線で囲まれた三角形の面積と同じというのは

不思議ですね。



ヒポクラテスは古代ギリシアの数学者で、
これは作図の三大難問の一つ　「円積問題」に属する。

他の二つは
「任意の角の三等分問題」　と　「立方倍積問題」　である。

この二つは１９世紀に、　作図できないことが証明されている。

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（制作：2006/04/20/無断転載禁）

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