５８

再び デュードニー の 図形


２個の図形 を １個の正方形に

正方形 と 直角（ちょっかく）二等辺（にとうへん）三角形 を 一つの正方形に

問題 上図のように　正方形　と　直角二等辺（にとうへん）三角形　があります。 二つの図形を　適当に何本かの直線で切断（せつだん）し、 それを組み合わせて　一つの正方形にする。 さあ〜　どのように切（き）ったらいいかな？

解答　（作図（さくず））

正方形 と 直角二等辺三角形 を上図のようにする。 直角二等辺三角形の斜辺（しゃへん） ＤＥ の中点を Ｍ　とし、 ＭＦ ＝ ＡＮ　となるように　Ｎ　をとる。 ＢＮ　および　ＮＦ　の直線で切断する。

それぞれの部品（ぶひん）を回転させて、　正方形にする

赤　と　青　を　回転させて移動させます 　辺ＦＤ　は　Ｆ　を中心として、辺ＦＥ　まで回転させます 　青　は　時計回りに　１８０°回転させます 　青　を　さらに時計回りに　９０°回転させる　（合計 ２７０°回転） 　正方形が完成しました

ボヤイ・ゲルウィーンの定理（ていり）

一般的に 　　同じ面積の多角形（たかくけい） Ａ、Ｂ があるとき、 　　Ａ を有限個（ゆうげんこ）の多角形に分割し、 　　並べ替えて、　Ｂ　にすることができる。 　　この定理を　ボヤイ・ゲルウィーンの定理という。 このページの問題では　正方形と　直角二等辺三角形を　接続させて　一つの図形と考えれば この定理で別の図形に変換できる　ということである。 では、　３次元（じげん）の多面体（ためんたい）では　どうでしょうか？ 　　これは　ヒルベルトの第３問題といわれ、 　　　長い間、　多くの数学者を悩（なや）ませていた。 　　しかし、　マックス・ディーンによって　不可能と証明された。

三平方（さんへいほう） の 定理（ていり）

直角（ちょっかく）三角形　において、 a2 + b2 = c2　が成り立つ　これを　三平方（さんへいほう）の定理（ていり）　という。 　これを　図形で見てみよう。 　a を１辺とする正方形　と、　b を１辺とする正方形　を　下図のようにならべる 　下図のように　色分けして　赤　と　青　を　回転させる 　赤を　時計回りに　回転させる 　青を　反時計回りに　回転させる 　赤も　青も　所定の位置におさまれば、　c を　１辺とする 正方形 になる

それでは、　最初の問題にもどって・・・

直角（ちょっかく）二等辺（にとうへん）三角形 が 正方形 より大きくても・・・

赤 と 青 に色分けして移動させる 　やはり、　正方形になります

　　 57 ヂュードニーの正三角形　　　08 小町算

参考文献：たけしのコマ大数学科/東海TV

（制作：2009/03/01/無断転載禁）

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