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デュードニー の 正三角形


正三角形 を 正方形 にする

超難問（ちょうなんもん）　正三角形 から 正方形 へ

上図のような正三角形を　直線で４個の部品に切って、 それを　組み合わせて正方形にしたい。 どのように、切ったらいいか？

この問題　発表当時 ほとんどの数学者は　解答できませんでした。

解答　（作図（さくず））

１辺が２の正三角形として、上図のように作図します。 ＢＣの中点をＭとし、　ＡＭの延長線上にＭＣと同じ長さの点をとり　Ｃ’とする。 ＡＣ’の中点をＯとし、　Ｏを中心、半径ＯＡの円を描き、 ＭＣの延長線と交わる点をＤとする。 Ｍを中心、半径ＭＤの円を描き、　辺ＡＣと交わる点をＤ’とする。 　　ＭＤ’で切断する。 　　（このＭＤ’が正方形の１辺の長さである） ＡＢの中点Ｎから　ＭＤ’へ垂線を下ろし、交わる点をＨとする。 　　ＮＨで切断する。 Ｄ’からＣの方向へ１（正三角形の辺の長さの半分）の長さの点をとり　Ｅとする。 Ｅから　ＭＤ’へ垂線を下ろし、交わる点を Ｉ とする。 　　Ｅ Ｉで切断する。 こうして、　切断された４個の部品が正方形への部品となります。

ＭＤ がなぜ正方形の１辺（ぺん）となるのか？

AM=√3、　MC'=1　　（正三角形の１辺の長さを ２ とする） √3 + 1 √3 + 1 √3 - 1 OC' = OD = ──── 、 OM = ──── - 1 = ──── 2 2 2 √32 + 2√3 + 1 √32 - 2√3 + 1 4√3 OD2 - OM2 = ─────── - ─────── = ─── = √3 4 4 4 MD = √（OD2 - OM2） = 4√3 　・・・ 正方形の１辺の長さ

それぞれの部品 を 説明にしたがって回転（かいてん）させる

赤を反時計回（はんとけいまわ）りに、　緑を時計回（まわ）りに回転させる 赤を青まで反時計回りに回転、 緑を黄まで時計回りに回転、 さらに、 黄と緑を一体として時計回りに回転させる 黄と緑を一体として時計回りにさらに回転させる 黄と緑を一体として時計回りにさらに回転させる 緑を赤まで回転させると、　正方形が完成する

パズル王　数学者　デュードニー

ヘンリー・アーネスト・デュードニー　（ Henry Ernest Dudeney ）　は 英国（えいこく）生まれ　１８５７〜１９３０ 祖父（そふ）は校長先生 ９歳でパズルを投稿（とうこう） １３歳で公務員（こうむいん） 　　（後に結婚するが　妻（つま）は売れっ子作家） アーサー・コナン・ドイル　とも交流（こうりゅう）があった この問題は超難問（ちょうなんもん）であったので、 １９０５年　英国王立（おうりつ）協会で 　　（１６６０年設立、現存する最古の学会、ニュートンが会長を務（つと）めたことも） 上図のように模型（もけい）を見せて、デモンストレーションをした。 その場にいた参加者達は全員驚嘆（きょうたん）したと伝えられている。

ボヤイ・ゲルウィーンの定理（ていり）

このように　正三角形　を分解して　正方形　にすることができる。 一般的に 　　同じ面積の多角形（たかくけい） Ａ、Ｂ があるとき、 　　Ａ を有限個（ゆうげんこ）の多角形に分割し、 　　並べ替えて、　Ｂ　にすることができる。 　　この定理を　ボヤイ・ゲルウィーンの定理という。 では、　３次元（じげん）の多面体（ためんたい）では　どうでしょうか？ 　　これは　ヒルベルトの第３問題といわれ、 　　　長い間、　多くの数学者を悩（なや）ませていた。 　　しかし、　マックス・ディーンによって　不可能と証明された。

　　 58 再びヂュードニーの図形　　　08 小町算

参考文献：たけしのコマ大数学科/東海TV

（制作：2009/02/01/無断転載禁）

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