ためになる? 数学 59

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21 の 不思議


不思議ふしぎな数 21 とは?


問題

とな数字すうじして
から 21 までの数字をつくれるような 数珠じゅずつなぎの の数字をこたえてください。



ヒント

 1 と 2 の数字は必要です




たとえば、 3個の数珠じゅずの場合




1=単独の数1
2=単独の数2
3=1+2  (足し算をするとき、隣り合った数字を足す。 以下同じ)
4=単独の数4
5=1+4
6=2+4
7=1+2+4

この例では、 1から7までの数字を作ることができる。





かんがかた

まず、 同じ数字が入ってもよいか? 調べてみると


のとり方
たま ・・・ 5通り
たま 連続れんぞく ・・・ 5通り
たま 連続れんぞく ・・・ 5通り
たま 連続れんぞく ・・・ 5通り
たま 連続れんぞく ・・・ 1通り
合計 21通り

問題は 1 から 21 までの数字の和を作るのだから、 和のあたいはすべてことなる
  → このことから、 たまの数字は同じものはない。

  では、 どんな数字が入るか考えてみよう。



1 と 2 以外の残りの数を a, b, c ( a < b < c ) とすると、・・・(同じ数字はないので a, b, c は全て異なる)

最大値 21=1+2+abc → abc=18


 ここで、 かりに a=3 と すれば、 abc=3+4+5=12<18 となり、 a=3 の可能性はある。

 次に かりに a=4 と すれば、 abc=4+5+6=15<18 となり、 a=4 の可能性もある。

 次に かりに a=5 と すれば、 abc=5+6+7=18 となり、 a=5 の可能性もある。

 しかし、 かりに a=6 と すれば、 abc=6+7+8=21>18 となり、 a=6 の可能性はない

    (いずれも、 b, c の数字は a < b < c の条件で最小値を採用したもの)


以上のことから、 a に入る数字は 3, 4, 5 のどれかである。

  これをもとに5個の数字の候補こうほを表にしてみると (和の最大値21ができるように)

1 2 a b c
1 2 3 4 11 候補1
1 2 3 5 10 候補2
1 2 3 6 9 候補3
1 2 3 7 8 候補4
1 2 4 5 9 候補5
1 2 4 6 8 候補6
1 2 5 6 7 ← この数字の配列では 4 ができない



今度は数字のならかたを調べてみると、



候補1 ・・・ 1, 2, 3, 4, 11
1と2がとなり合わせはいけない。 ・・・ 1+2=3 → 単独で3の数字がある。 (理由:数字の和は同じものはない)

同じように、 1と3が隣り合わせはいけない。

このことから、 1の隣は4と11 である。




ここで、 x, y には 2 と 3 が 入ることになる。

しかし、 2+3=5 となり、 この配列では 1+4=5 と 同じ和の組み合わせがある。

候補1 は ダメ である




候補2 ・・・ 1, 2, 3, 5, 10
候補1と同様に、 1と2がとなり合わせはいけない。 ・・・ 1+2=3 → 単独で3の数字がある。 

同じように、 2と3が隣り合わせはいけない → 単独で5の数字がある。

また、 2と3と5が隣り合わせはいけない → 単独で10の数字がある。



これらの条件での配列は以上のようになり、 1から21の和ができる。
候補2 は OK である。


  一応 解答が出たのですが、 すべての候補をチェックしてみましょう。




候補3 ・・・ 1, 2, 3, 6, 9
候補1と同様に、 1と2がとなり合わせはいけない。 ・・・ 1+2=3 → 単独で3の数字がある。 

同じように、 1と2と3が隣り合わせはいけない → 単独で6の数字がある。

また、 3と6が隣り合わせはいけない → 単独で9の数字がある。




ここで、 x, y には 3 と 6 が 入ることになる。

しかし、 3+6=9 となり、 単独で9の数字がある。

候補3 は ダメ である。




候補4 ・・・ 1, 2, 3, 7, 8
候補1と同様に、 1と2がとなり合わせはいけない。 ・・・ 1+2=3 → 単独で3の数字がある。 

同じように、 1と7が隣り合わせはいけない → 単独で8の数字がある。

また、 3と6が隣り合わせはいけない → 単独で9の数字がある。




ここで、 x, y には 2 と 7 が 入ることになる。

しかし、 2+7=9 となり、 1+8=9 もある。

候補4 は ダメ である。




候補5 ・・・ 1, 2, 4, 5, 9
1と4がとなり合わせはいけない。 ・・・ 1+4=5 → 単独で5の数字がある。 

同じように、 4と5が隣り合わせはいけない → 単独で9の数字がある。




ここで、 x, y には 1 と 5 が 入ることになる。

しかし、 1+5=6 となり、 2+4=6 もある。

候補5 は ダメ である。




候補6 ・・・ 1, 2, 4, 6, 8
2と4がとなり合わせはいけない。 ・・・ 2+4=6 → 単独で6の数字がある。 

同じように、 2と6が隣り合わせはいけない → 単独で8の数字がある。




ここで、 x, y には 4 と 6 が 入ることになる。

しかし、 4+6=10 となり、 2+8=10 もある。

候補6 は ダメ である。



答え

以上のことから、 候補こうほ2 の数字が答えとなる。









 おまけ

ある正方形せいほうけいを大きさのすべことなる正方形に分割ぶんかつするときの
使用される正方形の最小さいしょう個数こすうが 
21 である


1907

モロン(ポーランド)が 32×33の長方形を9個の全て異なる正方形に分割する例を発表
1938



ケンブリッジ大学の学生ブルックス・スミス・ストーン・トゥッテが
全て異なる正方形に分割できる正方形を発見 69個→39個
1951

ウィルコックス(イギリス)が 24個に分割できる例を発表 (175×175)
1978


ドゥアイフェスタイン(オランダ 1927-1998)が 21個に分割できる例を発表 (112×112)
 → 最小の個数であることが知られている



現在では、コンピュータで計算されて それぞれの個数が知られている
  (20個以下では存在しないことも知られている)

21個     1通り
22個     8通り
23個    12通り
24個    26通り
25個   160通り
26個   441通り
27個  1152通り
28個 ≧2920通り
29個 ≧3512通り
30個 ≧4490通り
・・・ ・・・

 例)  ≧2920 の意味 ・・・ 2920個は確認されているが、それ以上ある可能性もある。


最小数 21 に分割できる正方形

 全体の大きさ 112×112 の正方形



数字は正方形の辺の長さ (例:左上の50 = 50×50の正方形)

   作図が下手へたですみません。  場所によっては正方形に見えないところあり・・・でも正方形で〜す m(_ _)m









参照ページ
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参考文献:たけしのコマ大数学科/東海TV

(制作:2009/04/01/無断転載禁)


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