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２１ の 不思議


不思議（ふしぎ）な数 ２１ とは？

問題 隣（とな）り合（あ）う数字（すうじ）を足（た）して １ から ２１ までの数字を作（つく）れるような　数珠（じゅず）つなぎの ５ 個（こ）の数字を答（こた）えてください。

ヒント 　１　と　２　の数字は必要です

たとえば、　３個の数珠（じゅず）の場合 １＝単独の数１ ２＝単独の数２ ３＝１＋２　　（足し算をするとき、隣り合った数字を足す。 以下同じ） ４＝単独の数４ ５＝１＋４ ６＝２＋４ ７＝１＋２＋４ この例では、　１から７までの数字を作ることができる。

考（かんが）え方（かた）

まず、　同じ数字が入ってもよいか？　調べてみると 和（わ）のとり方 珠（たま）１個（こ） ・・・ ５通り 珠（たま）２個（こ） 連続（れんぞく） ・・・ ５通り 珠（たま）３個（こ） 連続（れんぞく） ・・・ ５通り 珠（たま）４個（こ） 連続（れんぞく） ・・・ ５通り 珠（たま）５個（こ） 連続（れんぞく） ・・・ １通り 合計 ２１通り 問題は　１ から ２１ までの数字の和を作るのだから、　和の値（あたい）はすべて異（こと）なる 　　→　このことから、　珠（たま）の数字は同じものはない。 　　では、　どんな数字が入るか考えてみよう。 １　と　２　以外の残りの数を　a, b, c　( a < b < c ) とすると、・・・（同じ数字はないので a, b, c　は全て異なる） 最大値　２１＝１＋２＋a＋b＋c　→　a＋b＋c＝１８ 　ここで、　仮（かり）に　a＝３　と　すれば、　a＋b＋c＝３＋４＋５＝１２＜１８　となり、　a＝３　の可能性はある。 　次に　仮（かり）に　a＝４　と　すれば、　a＋b＋c＝４＋５＋６＝１５＜１８　となり、　a＝４　の可能性もある。 　次に　仮（かり）に　a＝５　と　すれば、　a＋b＋c＝５＋６＋７＝１８　となり、　a＝５　の可能性もある。 　しかし、　仮（かり）に　a＝６　と　すれば、　a＋b＋c＝６＋７＋８＝２１＞１８　となり、　a＝６　の可能性はない。 　　　　（いずれも、　b, c の数字は　a < b < c の条件で最小値を採用したもの） 以上のことから、　a に入る数字は　３, ４, ５ のどれかである。 　　これをもとに５個の数字の候補（こうほ）を表にしてみると （和の最大値２１ができるように） 1 2 a b c 1 2 3 4 11 候補１ 1 2 3 5 10 候補２ 1 2 3 6 9 候補３ 1 2 3 7 8 候補４ 1 2 4 5 9 候補５ 1 2 4 6 8 候補６ 1 2 5 6 7 ← この数字の配列では ４ ができない 今度は数字の並（なら）び方（かた）を調べてみると、 候補１ ・・・ １, ２, ３, ４, １１ １と２が隣（とな）り合わせはいけない。　・・・　１＋２＝３　→　単独で３の数字がある。　（理由：数字の和は同じものはない） 同じように、　１と３が隣り合わせはいけない。 このことから、　１の隣は４と１１　である。 ここで、　x, y　には　２　と　３　が　入ることになる。 しかし、　２＋３＝５　となり、　この配列では　１＋４＝５　と　同じ和の組み合わせがある。 候補１　は　ダメ　である。 候補２ ・・・ １, ２, ３, ５, １０ 候補１と同様に、　１と２が隣（とな）り合わせはいけない。　・・・　１＋２＝３　→　単独で３の数字がある。　 同じように、　２と３が隣り合わせはいけない　→　単独で５の数字がある。 また、　２と３と５が隣り合わせはいけない　→　単独で１０の数字がある。 これらの条件での配列は以上のようになり、　１から２１の和ができる。 候補２　は　OK　である。 　　一応　解答が出たのですが、　すべての候補をチェックしてみましょう。 候補３ ・・・ １, ２, ３, ６, ９ 候補１と同様に、　１と２が隣（とな）り合わせはいけない。　・・・　１＋２＝３　→　単独で３の数字がある。　 同じように、　１と２と３が隣り合わせはいけない　→　単独で６の数字がある。 また、　３と６が隣り合わせはいけない　→　単独で９の数字がある。 ここで、　x, y　には　３　と　６　が　入ることになる。 しかし、　３＋６＝９　となり、　単独で９の数字がある。 候補３　は　ダメ　である。 候補４ ・・・ １, ２, ３, ７, ８ 候補１と同様に、　１と２が隣（とな）り合わせはいけない。　・・・　１＋２＝３　→　単独で３の数字がある。　 同じように、　１と７が隣り合わせはいけない　→　単独で８の数字がある。 また、　３と６が隣り合わせはいけない　→　単独で９の数字がある。 ここで、　x, y　には　２　と　７　が　入ることになる。 しかし、　２＋７＝９　となり、　１＋８＝９　もある。 候補４　は　ダメ　である。 候補５ ・・・ １, ２, ４, ５, ９ １と４が隣（とな）り合わせはいけない。　・・・　１＋４＝５　→　単独で５の数字がある。　 同じように、　４と５が隣り合わせはいけない　→　単独で９の数字がある。 ここで、　x, y　には　１　と　５　が　入ることになる。 しかし、　１＋５＝６　となり、　２＋４＝６　もある。 候補５　は　ダメ　である。 候補６ ・・・ １, ２, ４, ６, ８ ２と４が隣（とな）り合わせはいけない。　・・・　２＋４＝６　→　単独で６の数字がある。　 同じように、　２と６が隣り合わせはいけない　→　単独で８の数字がある。 ここで、　x, y　には　４　と　６　が　入ることになる。 しかし、　４＋６＝１０　となり、　２＋８＝１０　もある。 候補６　は　ダメ　である。

答え

以上のことから、　候補（こうほ）２　の数字が答えとなる。

おまけ

ある正方形（せいほうけい）を大きさの全（すべ）て異（こと）なる正方形に分割（ぶんかつ）するときの 使用される正方形の最小（さいしょう）個数（こすう）が　２１　である

年 １９０７ モロン（ポーランド）が　３２×３３の長方形を９個の全て異なる正方形に分割する例を発表 １９３８ ケンブリッジ大学の学生ブルックス・スミス・ストーン・トゥッテが 全て異なる正方形に分割できる正方形を発見　６９個→３９個 １９５１ ウィルコックス（イギリス）が　２４個に分割できる例を発表　（175×175） １９７８ ドゥアイフェスタイン（オランダ 1927-1998）が　２１個に分割できる例を発表　（112×112） 　→　最小の個数であることが知られている 現在では、コンピュータで計算されて　それぞれの個数が知られている 　　（２０個以下では存在しないことも知られている） ２１個 　　　　１通り ２２個 　　　　８通り ２３個 　　　１２通り ２４個 　　　２６通り ２５個 　　１６０通り ２６個 　　４４１通り ２７個 　１１５２通り ２８個 ≧２９２０通り ２９個 ≧３５１２通り ３０個 ≧４４９０通り ・・・ ・・・ 　例）　　≧２９２０　の意味　・・・　２９２０個は確認されているが、それ以上ある可能性もある。

最小数 ２１ に分割できる正方形

全体の大きさ　112×112　の正方形 数字は正方形の辺の長さ　（例：左上の５０ ＝ 50×50の正方形） 　　　作図が下手（へた）ですみません。　　場所によっては正方形に見えないところあり・・・でも正方形で〜す　m(_ _)m

参考文献：たけしのコマ大数学科/東海TV

（制作：2009/04/01/無断転載禁）

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