４９

フラクタル


フランスの数学者 ブノワ ・マンデルブロ （1924〜 ）が
考え出した　新しい数学

問題 以下の規則にしたがって 白玉と赤玉を６４段まで ならべる時 必要な赤玉は何個でしょうか？ 規則 １）　１段目は白玉をおく ２）　２段目以降　両端（はし）には白玉をおく ３）　３段目以降　ななめ上の２個が　同じ色なら赤玉をおく 　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　違う色なら白玉をおく ● １段目 ● ● ２ ● ● ● ３ ● ● ● ● ４ ● ● ● ● ● ５ ● ↑ 違う色 ● ６ 違う色なので　ここには白玉を置く ● １段目 ● ● ２ ● ● ● ３ ● ● ● ● ４ ● ● ● ● ● ５ ● ● ↑ 同じ色 ● ６ 同じ色なので　ここには赤玉を置く ● １段目 ● ● ２ ● ● ● ３ ● ● ● ● ４ ● ● ● ● ● ５ ● ● ● ● ６ ● １段目 ● ● ２ ● ● ● ３ ● ● ● ● ４ ● ● ● ● ● ５ ● ● ● ● ● ● ６ ● １段目 ● ● ２ ● ● ● ３ ● ● ● ● ４ ● ● ● ● ● ５ ● ● ● ● ● ● ６ ● ● ● ● ● ● ● ７ と、　このようにして　６４段までならべます。 そのとき、　赤玉の総数を求めます。

解答 もう少し段数を増やして、　法則性を見てみましょう ● 　１段目 ● ● 　２ ● ● ● 　３ ● ● ● ● 　４ ● ● ● ● ● 　５ ● ● ● ● ● ● 　６ ● ● ● ● ● ● ● 　７ ● ● ● ● ● ● ● ● 　８ ● ● ● ● ● ● ● ● ● 　９ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● １０ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● １１ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● １２ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● １３ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● １４ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● １５ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● １６ １６段までみると、　なにやら法則性がありますね。 このように、　自分の中にある小さな法則が自分全体を支配する法則であります。 このような図形をフラクタルといいます。 例えば一つの三角形 この小さな三角形を３個組み合わせると、 さらに、　この三角形を３個組み合わせると と、このような図形になります。 一つの法則が全体を支配する法則になっています。　＝　自己相似 ● １段目 この８段の図形が、 上図の黒い一つの三角形とすれば 理解がしやすいでしょう。 ● ● ２ ● ● ● ３ ● ● ● ● ４ ● ● ● ● ● ５ ● ● ● ● ● ● ６ ● ● ● ● ● ● ● ７ ● ● ● ● ● ● ● ● ８ ● １段目 じつは上図８段の図形は この４段の図形からできていますヨ ● ● ２ ● ● ● ３ ● ● ● ● ４ この８段の三角形の中に白玉は２７個あります。 赤玉の数を求める問題ですが、　白玉の数を数えたほうが分かりやすいと思われますので、 全体の数から白玉の数を差し引いて求めます。 類推すると、　今回の図形は次のようになります。 ８段一組の小さな三角形は　２７個　あります。 なお、　この図形のことを シェルピンスキーのギャスケットとも言います。

１ 全体の玉の数 ＝ ─ × ６４ × （６４＋１） ＝ ２０８０ ２ 白玉の数 ＝ ２７ × ２７ ＝ ７２９ 赤玉の数 ＝ ２０８０ − ７２９ ＝ １３５１ 個

ちなみに、　この　シェルピンスキーのギャスケット　の　次元は 直線の１次元と　平面の２次元の中間の次元であるとされている。

参考文献：たけしのコマ大数学科/東海ＴＶ

（制作：2007/06/10/無断転載禁）

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