ためになる? 数学 40

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あみだくじ は なぜ成り立つか ?  


経験的には、 ちがう場所からスタートして同じ場所にたどり着くことはないです。

これを数学的に考えると、、、、


このような

あみだくじ で よく遊びますネ〜


数学的に考えてみよう。




解答を見る前に考えてネ




横線の本数を n とします。

まず、 n = 0 のとき (横線がない)

左図のように横線がない場合
上で選んだ縦線をそのまま下へ行くので、

ちがう縦線を選んだ人は、それぞれ違ったところへたどり着きます。


n = k のとき (横線が k 本あるとき)

ちがう縦線を選んだ人は、必ずちがうところへ行きついているとして、
それが n = k + 1 の場合でも成り立つかどうかを見ると。




左図の赤線のように最後の場所に1本加えた図を考えます。

赤線を加える前には成り立っていたのですから、
赤線で結ばれた隣同士が入れ替わるだけです。


すなわち n = k のとき成り立てば、 n = k + 1 でも成り立つ。
このような証明方法を 数学的帰納法すうがくてききのうほうといいます。


この場合では n = 0 のとき成り立つので、 n = 0 + 1 = 1 も成り立つ。

n = 1 のとき成り立つので、 n = 1 + 1 = 2 も成り立つ。

あと同様に繰り返すと

n = 3、 4、 5 ・・・ と無限に成り立って行きます。



参考文献: 数学パズル  沖田 浩 著/中経出版

(制作:2005/11/19/無断転載禁)


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