ためになる? 数学 05

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計算尺 (けいさんじゃく って知ってる?


log (対数) を応用した計算器です

計算尺の写真

上の写真のように、幅約5cm、長さ約30cmの竹製で、中央の竹がスライドできるようになっている。
また、赤い線が中央に刻まれたガラスのカーソルがあり、左右に自由に移動できます。
裏は、三角関数などの計算ができます。

50才前後以上までのお父さんの中学時代、学校の授業で勉強しましたし、
検定試験もあり、競技大会もありました。



今も、この計算尺を製作した ヘンミ計算尺株式会社 はあります。
しかし今、図のような一般計算用の計算尺は作っていません。 

機械・電気・電子・化学・建築・土木等とか、医療・健康等幅広い分野での特殊計算尺のみです。
電気を使わず、瞬時に計算できる計算尺は、今も特殊な専門分野で活躍しています。

ヘンミ計算尺の主力製品は精密機器です。

( 写真は40年前の HEMMI の Bamboo Slide Rule  フナハシ学習塾 所有)



これって、なにするもの?


 これは、名前のとおりカーソルと中央のスライドする尺を使って、いろんな計算をします。
昔は、今のように電卓とか、パソコンなどはなかったので、
エンジニアになる人は、一生懸命練習しました。


いろんな計算ができるよ! (おもなもの)
● 掛け算、割り算
● 平方、平方根
● 立法、立方根
● 三角関数 ( sin  cos  tan  ) ラジアン、度 どちらも可
● 常用対数
● 自然対数

    ( 上の計算は、混在していても連続して計算できます )


計算の原理
高校( 理系 )で勉強する、対数log  ログ といいます) を使っています。

別の言い方をすれば、
掛け算は足し算に、割り算は引き算変換して計算します。
また、答の有効桁数は3〜4桁です。

例  12345 × 6789 = →  log 12345 + log 6789  → 83800000 (有効桁数3桁)とか

    23 3 = →  3 × log 23    → 12170  (有効桁数4桁) のように  ・・
 

このように有効桁数3桁目、あるいは4桁目は 四捨五入 されるか、少し不正確になります。



 
むつかしいですが、 チョッと勉強してみましょう。

ここでは、 底は10を採用して説明します。 底(てい)が10とは、

log 10 のように、 10 を小さく書いて、 ログ10底(てい)の2 と読みます。
 (私たちが普段使用している10進数の計算に向いています = 常用対数といいます)

では、計算尺から ログの数値を一覧表にして書き出してみます。
(計算尺から算出しますので、例によって有効桁数の 3桁目 は少し不正確となります)

数値 log 10 数値
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
0.954

では、 実際に計算してみましょう。

1
2 × 3 → log 10   log 10  = 0.301 + 0.477 = 0.778 となります。

この 0.778 を 上の表で見ると、 数値は 6 のところです。 → 答は  となります。

掛け算は足し算に変換できました。

2
8 ÷ 2 → log 10   log 10  = 0.903 − 0.301 = 0.602 となります。

同じように、 0.602 を 上の表で見ると、 数値は  のところです。 → 答は  となります。

割り算は引き算に変換できました。

3
3 (2の3乗) → log 10 3 = 3 × log 10  = 3 × 0.301 = 0.903 となります。

同じように、 0.903 を 上の表で見ると、 数値は  のところです。 → 答は  となります。

べき乗は、(普通の)掛け算に変換できました。



 どうでしたか? 難しかったですか? もうチョッと先に進みます。

いままでは 1 から 9 までの数値を扱いましたが、 20は? 30は? 200は? と疑問がわいてきます。

では、大きい数値のログを算出します。
 20 = 2 × 10  → log 10   log 10 10 = 0.301 + 1 = 1.301 となります。
200 = 2 × 102 → log 10   log 10 102 = 0.301 + 2 = 2.301 となります。

このように、数値が10倍、100倍となっても ログの小数点以下の数字は変わらず、整数部分が変わるだけです


では、あらためて大きな数値のログも加えた一覧表を作りました。

数値 log 10 数値
数値 log 10 数値
数値 log 10 数値 実際には、
10倍 100倍の数値のログ表は
ありません。

小数点以下の数字が
まったく同じだからです。
10 100
0.301 20 1.301 200 2.301
0.477 30 1.477 300 2.477
0.602 40 1.602 400 2.602
0.699 50 1.699 500 2.699
0.778 60 1.778 600 2.778
0.845 70 1.845 700 2.845
0.903 80 1.903 800 2.903
0.954 90 1.954 900 2.954

では、もっと大きな数字の計算でも成り立つか、見てみましょう。

4
5 × 6 → log 10   log 10  = 0.699 + 0.778 = 1.477 となります。

この 1.477 を 上の表で見ると、 数値は 30 のところです。 → 答は 30 となります。

やはり、 掛け算は足し算に変換できました。

5
600 ÷ 30 → log 10 600  log 10 30 = 2.778 − 1.477 = 1.301 となります。

同じように、 1.301 を 上の表で見ると、 数値は 20 のところです。 → 答は 20 となります。

やはり、 割り算は引き算に変換できました。


a

上の例では、非常に簡単な計算で説明しましたが、
こんな、やさしい計算ならなにも計算尺を使用する事はありませんが、

例えば 12320 (123の20乗) は? となると電卓でも大変ですね。

12320 → log 10 12320 = 20 × log 10 123 = 20 × (2 + log 10 1.23
        = 20 × (2 + 0.090) = 41.80 ( 410.8 ) となります。

ログの0.8 は 計算尺から 6.31 と読み取れることから、

答は 6.31 × 1041 と、 すぐ計算できます。



計算尺の左端の拡大図 (表側) 尺の説明
計算尺拡大図
D尺との関係で10底の常用対数
D尺との関係で立方と立方根
DF D尺をπの位置でカットし
左右を並び替えた
CF DF尺の数値に
割り算の割る数値
CIF DF尺の数値に
掛け算の掛ける数値
CI D尺の数値に
掛け算の掛ける数値
D尺の数値に
割り算の割る数値
計算の始めの数値
LL 自然対数



実際の計算方法 2 × 3 の 場合

1) D尺 上の  の位置にカーソル(ガラスの赤線) を合わせる。
2) CI尺 をスライドさせ、 カーソルに 掛ける数の  を合わせる。
3) スライドさせた尺の右端(左端) の D尺の数値を読む → 答 


連続した計算方法 2 × 3 × 4 の 場合
上の 1) と 2) を実行する。
3) 尺を動かさず、カーソルを動かすときの掛け算は C尺 を 使用するので
   C尺の  に カーソルを合わせる。 → カーソルのD尺の数値を読む 2.4 → 答 24


連続した計算方法 2 × 3 ÷ 1.2 の 場合

上の 1) と 2) を実行する。
3) 尺を動かさず、カーソルを動かすときの割り算は CI尺 を 使用するので
   CI尺の 1.2 に カーソルを合わせる。 → カーソルのD尺の数値を読む 5 → 答 



連続した計算をするときの注意 (スライド尺に注意)

スライドする尺が半分以上外側に出てしまうと、次の計算が出来なくなることがあります。
例えば、 9 × 9 × 3 の連続計算をするとき、

最初の数値を D尺に 次に掛ける数値を CI尺にとってしまうと、 中央の尺が90%外に出てしまう。
これでは、次の数値の計算ができない。 このような時は

最初の数値は πの位置でカットされた 上側の DF尺に  を取り、 掛ける数値は CIF尺で 取る。

このように、 尺は常に半分以上内側にあるように、
D尺(C、CI尺) と DF尺(CF、CIF尺) とを使い分けることが必須である。



実際の計算方法 8 ÷ 2 の 場合

1) D尺 上の  の位置にカーソル(ガラスの赤線) を合わせる。
2) C尺 をスライドさせ、 カーソルに 割る数の  を合わせる。
3) スライドさせた尺の左端(右端) の D尺の数値を読む → 答 



πを含む計算

この計算尺の DF尺 は D尺 を π(3.14)カット してあるので、

D尺 にカーソルを合わせると そのまま DF尺のカーソルの数値は πを掛けた数値になる。


円周 = π × 直径 の計算は

例えば 直径が の 場合、 D尺の  にカーソルを合わせれば、 DF尺の数値 1.57 から
答は 15.7 と読み取れる



その他、計算尺の裏側は
Sh尺、Th尺、Tl尺、SI尺・三角関数
A尺、B尺・平方平方根
θ尺・ラジアンと角度の変換
C尺、D尺、DI尺・掛け算割り算 などの尺がある。


三角関数を含む複雑な計算の場合、スライド尺だけを裏返しにして計算することもあります。



b

特殊な計算尺を作るには?


例えば 半径の数値から 円の面積を出す 計算尺を作るには

円の面積 = π × 半径2 の式から 

まず、半径の平方を出す。 平方を出すには A尺がある。
A尺は D尺 を半分に縮めたものを、左右に2個並べたものである。
(理由: log 10 数値2 = ×log 10 数値 から 2個並べればよい)

次に、 このA尺を πカットし、 カットした尺を左右並び替える。

こうして出来た尺を、例えば AF尺 と呼ぶことにすれば、


半径を D尺の数値カーソルを合わせれば、 そのままAF尺のカーソルの数値が面積となる。


さらに、逆の使い方をすれば 円の面積からその円の半径が直ちに読み取れます。



c

検定試験


中学生のころ使用した計算尺は写真の計算尺の半分程度の大きさでした。
4級程度まではその計算尺で受験が出来ますが、

3級、2級を受験するには写真のような精密な計算尺が必要となりました。

中学生が1級を受験することは無理でした。
それは、 「特殊な計算尺を作る」 という問題があるからです。
ログを勉強する高校まで待たなければなりませんでした。



 当時は この難しそうな log ( ログ ) を中学生の時代に、
実際に計算尺を使いながら、知らず知らずに使いこなし、

エンジニアなどは社会人となって仕事で計算尺を利用していました。
(胸ポケットに入る小さな計算尺があった)


現在は、このログを(高校で)勉強しても実際に使う場面が少ない(コンピュータの中では使われています)ので、
ログをよく理解できず、 現在の生徒さんはむしろかわいそうかな?



計算尺について詳しく説明しているサイト 計算尺推進委員会

(制作:2002/11/09/追加2004/09/21/無断転載禁)


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