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ピックの定理


方眼紙（ほうがんし）上の図形面積を求める

問題

方眼紙上に 中が三角形に切り取られた五角形の図形がある。 赤の線　と　青の線　とではさまれた部分の面積を求めよ。 方眼紙の一目盛りは１ｃｍとする

解答

特に　ピックの定理など知らなくても 次のように根気（こんき）よく計算すれば解答できる。 　 青い三角形の部分は後で計算することにして、 まず、　赤い五角形の部分を計算する。 １の三角形部分＝ ４×３ ------ ２ ２の三角形部分＝ ５×３ ------ ２ ３の三角形部分＝ １×３ ------ ２ ４の三角形部分＝ ５×１ ------ ２ ５の三角形部分＝ ３×４ ------ ２ ６の長方形部分＝５×３ 赤い五角形の面積＝３８．５ｃｍ2 次に青い三角形の部分を計算する。 　 ３×３ - １×２ ------ ２ - ３×１ ------ ２ - ２×３ ------ ２ ＝ ３．５ｃｍ2 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 四角形 １の 三角形 ２の 三角形 ３の 三角形 青い三角形の面積 求める面積は 　　３８．５ − ３．５ ＝ ３５ｃｍ2 　　　　　　と計算できる。

では、　ピックの定理とは？

ピックの定理

頂点（ちょうてん）が格子点（こうしてん）にある多角形（たかくけい）の面積（めんせき） Ｓ は その多角形の内部（ないぶ）の格子（こうし）の数 Ｉ と、辺の格子の数 Ｂ により 　 Ｓ ＝ Ｉ ＋ Ｂ --- ２ − １ 　と 表わされる 例題 　　　●　辺の格子点 １の図形　辺の格子点＝４　内部の格子点＝０　　Ｓ＝０ ＋ ４/２ − １ ＝ １ ２の図形　辺の格子点＝４　内部の格子点＝１　　Ｓ＝１ ＋ ４/２ − １ ＝ ２ ３の図形　辺の格子点＝４　内部の格子点＝１　　Ｓ＝１ ＋ ４/２ − １ ＝ ２ ４の図形　辺の格子点＝８　内部の格子点＝３　　Ｓ＝３ ＋ ８/２ − １ ＝ ６

それでは、　このピックの定理を使って解いてみよう 　　　●　内部の格子点 （一部のみ表示） まず、　赤い五角形の部分を計算する。 辺の格子点は　頂点のみであるので　＝ ５ 内部の格子点は　数えてみると　＝ ３７ 公式に当てはめると　五角形の面積 ＝ ３７ ＋ ５/２ − １ ＝ ３８．５　・・・ (1) 次に青い三角形の部分を計算する。 辺の格子点は　頂点のみであるので　＝ ３ 内部の格子点は　図のように　＝ ３ 公式に当てはめると　三角形の面積は ＝ ３ ＋ ３/２ − １ ＝ ３．５　・・・ (2) 　(1) − (2) ＝ ３８．５ − ３．５ ＝ ３５ｃｍ2 このピックの定理は海外では学校で教えますが、　日本では学校で教えません。 簡単ですので、　覚えておくと役に立ちますヨ。

ゲオルク・ピック は １８５９年　オーストリア に生まれる １６歳でウィーン大学に入学 １７歳で論文を書く ２０歳で博士号を取得 　　その後　マッハ博士（音速のマッハ）　とか　クライン博士（クラインの壷）　の元で勉強をする １８９９年　ピックの定理を発表 １９１０年　アインシュタイン博士をプラハ大学に教授として招き、　数学のアドバイスをする。 　一般性相対性理論につながったとされる。 １９２７年引退、　１９４２年　ボヘミアで死去　８２歳

参考文献：たけしのコマ大数学科/東海TV

（制作：2008/10/01/無断転載禁）

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